Tugas matematika : BILANGAN BULAT, GANJIL DAN GENAP

BILANGAN BULAT, GANJIL DAN GENAP

A.    Bilangan Bulat

Ø  Pengertian

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif. Dan juga merupakan bilangan yang tidak mempunyai pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0. Lawan dari bilangan bulat adalah bilangan riil yang mempunyai titik desimal, seperti 8,0; 34.25; 0,02.

Ø  Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a. Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

            Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c. Sifat asosiatif

            Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d. Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0)  merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e. Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

Ø  Operasi Bilangan Bulat

1.      Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a.       Sifat-Sifat Penjumlahan pada Bilangan Bulat:

1)      Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

2)      Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

3)      Sifat asosiatif

4)      Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

5)      Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

6)      Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

2.      Pengurangan pada Bilangan Bulat

Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b). Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

3.      Perkalian pada Bilangan Bulat

a.       Jika p dan q bilangan bulat maka:

1)      p x q = pq;

2)      (–p) x q = –(p x q) = –pq;

3)      p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

4)      (–p) x (–q) = p x  q = pq.

b.      Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat:

1)      Tertutup terhadap operasi perkalian;

2)      Komutatif: p x q = q x p;

3)      Asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

4)      Distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

5)      Distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) –(p x  r).              

6)      Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

4.      Pembagian pada Bilangan Bulat

Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian. Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup. Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut:

a.       Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b.      Operasi perkalian (  ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c.       Operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

B.     Bilangan ganjil dan Genap

1.      Bilangan Ganjil

Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1. Contohnya jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.

Bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk rumus 2k-1 atau dapat ditulis dengan 2k+1  dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan ganjil atau penjumlahan (2k-1)+(2k+1) yang hasilnya adalah 4k-2=2(2k-1). Misalkan 2k-1=m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. Dimana ini merupakan rumus dari bilangan genap. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan dua bilangan genap.

2.      Bilangan Genap

Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah 4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap

3.      Hubungan bilangan Genap dan Ganjil

a.       Jumlah Bilangan Ganjil dan Genap

Jumlah dua bilangan yang satu adalah bilangan ganjil, dan yang satunya adalah bilangan genap, artinya penjumlahan dari (2k-1)+2k) yang hasilnya adalah 4k-1=2(2k)-1.

Misalkan 2k=a, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2a-1, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan ganjil. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan dengan yang satu bilangan ganjil dan yang satu adalah bilangan genapakan menghasilkan bilangan ganjil.

b.      Perkalian Antara Bilangan Ganjil

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil artinya perkalian antara(2k-1)X(2k-1). Dimana hasilnya adalah -4k+1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(-2k)+1.

Misalnya (-2k)=a, maka bentuk 2a+1 adalah rumus bilangan ganjil.

Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

c.       Perkalian Dua Bilangan Genap

Perkalian antara bilangan genap dengan bilangan genap, artinya perkalian antara (2k)X(2k). Dimana hasilnya adalah . Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2().

Misalkan () =b, maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap.

d.      Perkalian Antara Bilangan Ganjil dengan Bilangan Genap

Perkalian antara bilangan ganjil dengan bilangan genap, artinya perkalian antara (2k-1)(2k). Dimana hasilnya adalah  -2k. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(-k).

Misalnya -k=a, maka didapatkan 2a, dan bentuk 2a adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga hasil kali antara bilangan ganjil dengan bilangan genap adalah bilangan genap.

e.       Kuadrat dari Bilangan Ganjil

Kuadrat dari bilangan ganjil artinya perkalian antara (2k-1)X(2k-1). Dimana hasilnya adalah -4k+1. Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(-2k)+1. Misalnya (-2k)=a, maka bentuk 2a+1 adalah rumus untuk bilangan ganjil.

Sehingga kuadrat dari bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

f.       Kuadrat dari Bilangan Genap

Kuadrat dari bilangan genap artinya perkalian antara (2k)(2k). Dimana hasilnya adalah Hasil terakhir dapat ditulis sebagai 2(). Misalkan =b, maka bentuk 2b adalah rumus untuk bilangan genap. Sehingga kuadrat dari bilangan genap adalah bilangan genap.